高等数学笔记

Update 2019.6.22
ps.为了加快复习速度可能不会太详细了…，有时后做了笔记并不会立刻同步上来
下学期好好做人…学的时候就记笔记…

Update 2019.6.25

1	\def\ooint{{\bigcirc}\kern-11.5pt{\int}\kern-6.5pt{\int}}

自定义闭合曲线二重积分
但是这里…用不了，我就用普通二重积分代替了

Update 2019.6.26
差不多都复习了一遍了…最后几节实在是看不下去了，等下周再搞搞，还一直没有做套题，做上几套题再复习一下
找时间还会在整理上学期的积分方法，不然稍微复杂点就忘咋算了

Update 2019.7.6

补充微分方程和修改部分错误

Update 2019.7.7

常系数非齐次线性微分方程还有傅里叶级数我放弃了…考到的话…分给你15我点了

第二章导数与微分

就光补充一下求导公式
$\sec x=\frac{1}{\cos x}, \csc x=\frac{1}{\sin x}$

$(C)’=0$
$(x^{\mu})=\mu x^{\mu -1}$
$(\sin x)’=\cos x$
$(\cos x)’=-\sin x$
$(\tan x)’=\sec^2 x$
$(\cot x)’=-\csc ^2 x$
$(\sec x)’=\sec x\tan x$
$(\csc x)’=-\csc x\cot x$
$(a^x)’=a^x\ln a$
$(e^x)’=e^x$
$(\log_a x)’=\frac{1}{x\ln a}$
$(\ln x)’=\frac{1}{x}$
$(\arcsin x)’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\arccos x)’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\arctan x)’=\frac{1}{1+x^2}$
$(\text{arccot} x)’=-\frac{1}{1+x^2}$

和差积商求导法则

$(u\pm v)’=u’\pm v’$
$(Cu)’=Cu’$
$(uv)’=u’v+uv’$
$\left (\frac{u}{v} \right )’=\frac{u’v-uv’}{v^2}$

第七章微分方程

第一节微分方程基本概念

一般地，凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，叫做微分方程，微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。
找到一个函数代入微分方程使其称为恒等式，这个函数叫做微分方程的解，如果微分方程的解中含有任意成熟，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。
满足一定条件的如$y|_ {x=x_0}=y_0,y’|_ {x=x_0}=y’_ 0$，叫做初值条件，确定了通解中任意常数以后，就得到微分方程的特解。

第二节可分离变量的微分方程

简单来说，把含$x$的函数和$\text{d}x$放在等式一边，将$y,\text{d}y$放在等式另一边，分别积分求解。
一般地，如果一个一阶微分方程能写成$g(y)\text{d}y=f(x)\text{d}x$的形式，积分得$\int g(y)\text{d}y=\int f(x)\text{d}x$，设原函数分别为$G(y),F(x)$，即$G(y)=F(x)+C$

第三节齐次方程

如果一阶微分方程可化为$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\varphi \left (\frac{y}{x}\right )$的形式，那么称这方程为齐次方程。
引入未知变量$u=\frac{y}{x}$，则$y=ux,\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=u+x\frac{\text{d}u}{\text{d}x}$，代入得$u+x\frac{\text{d}u}{\text{d}x}=\varphi(u)$
然后分离变量$\frac{\text{d}u}{\varphi(u)-u}=\frac{\text{d}x}{x}$

第四节一阶线性微分方程

方程$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)y=Q(x)$叫做一阶线性微分方程，对于未知函数$y$及其导数是一次方程，如果$Q(x)\equiv 0$那么方程是齐次的，否则是非齐次的。

为求非齐次方程的解，先求对应的齐次线性方程$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}+P(x)y=0$，可分离变量$\frac{\text{d}y}{y}=-P(x)\text{d}x$，积分得$\ln |y| =-\int P(x)\text{d}x+C_1$或$y=Ce^{-\int P(x)\text{d}x}(C=\pm e^{C_1})$
用常数变易法，把通解中的$C$换成$x$的未知函数$u(x)$，即$y=ue^{-\int P(x)\text{d}x}$，于是$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=u’e^{-\int P(x)\text{d}x}-uP(x)e^{-\int P(x)\text{d}x}$，代入方程得$u’e^{-\int P(x)\text{d}x}-uP(x)e^{-\int P(x)\text{d}x}+P(x)ue^{-\int P(x)\text{d}x}=Q(x)$
即$u’e^{-\int P(x)\text{d}x}=Q(x),u’=Q(x)e^{\int P(x)\text{d}x}$，两端积分得$u=\int Qe^{\int P(x)\text{d}x}\text{d}x+C$
通解$y=e^{-\int P(x)\text{d}x}\left ( \int Q(x)e^{\int P(x)\text{d}x}\text{d}x+C\right )$

第五节可降阶的高阶微分方程

$y^{(n)}=f(x)$，接连积分$n$次，得到含有$n$个任意常数的通解

$y’’=f(x,y’)$，设$y’=p$，那么$p’=f(x,p)$，设其通解$p=\varphi(x,C_1),p=\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$，因此$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=\varphi(x,C_1)$，积分得到通解$y=\int \varphi(x,C_1)\text{d}x+C_2$

$y’’=f(y,y’)$，令$y’=p$，$y’’=\frac{\text{d}p}{\text{d}x}=\frac{\text{d}p}{\text{d}y}\cdot \frac{\text{d}y}{\text{d}x}=p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}$，方程变成$p\frac{\text{d}p}{\text{d}y}=f(y,p)$，通解$y’=p=\varphi(y,C_1)$，分离变量并积分$\int \frac{\text{d}y}{\varphi(y,C_1)}=x+C_1$

第六节高阶线性微分方程

二阶齐次线性方程$y’’+P(x)y’+Q(x)y=0$
定理1 如果函数$y_1(x)$与$y_2(x)$是方程的两个解，那么$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$，也是解
定理2 如果函数$y_1(x)$与$y_2(x)$是方程的两个线性无关的特解，那么$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$是方程的通解
定理3 设$y^{\ast}$是二阶非齐次方程的一个特解，$Y(x)$是对应齐次方程的通解，则二阶非齐次方程的通解$y=Y(x)+y^{\ast}(x)$

另叠加原理，右边是两个函数的和的形式，分别求特解，特解的和是原方程的特解。

第七节常系数齐次线性微分方程

$y’’+py’+qy=0$，其中$p,q$全为常数那么称为二阶常系数齐次微分方程，不全为常数称为二阶变系数齐次微分方程。
特征方程$r^2+pr+q=0$，用二次方程求解

两个不相等的实根$r_1,r_2$，通解$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
两个相等实根$r_1=r_2$，通解$y=(C_1+C_2x)e^{r_1x}$
一对共轭负根$r_{1,2}=\alpha + \beta \text{i}$，通解$y=e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x + C_2\sin \beta x$

第八节常系数非齐次线性微分方程

$y’’+py’+qy=f(x)$二阶常系数非齐次线性微分方程

$f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$
结论$y^{\ast}=x^kR_m(x)e^{\lambda x}$，$k$按$\lambda $不是特征方程的根，是特征方程的单根，是特征方程的重根依次取$0,1,2$
$f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos \omega x+Q_n(x)\sin \omega x]$
$y^{\ast}=x^ke^{\lambda x}[R_m^{(1)}(x)\cos \omega x+R_m^{(2)}\sin \omega x]$，$k$按$\lambda + \omega\text{i}$不是特征方程的根，是特征方程的单根依次取$0,1$

我觉得应该考不到吧…忒麻烦了

第八章向量代数与空间解析几何

向量及其运算

方向角

向量$r$与三条坐标轴的夹角$\alpha \beta \gamma$称为向量$r$的方向角
$\cos\alpha=\frac{x}{|r|},\cos\beta=\frac{y}{|r|},\cos\gamma=\frac{z}{|r|}$
由方向向量可知
$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$

向量在轴上的投影

$Prj_ua=|a|\cos\varphi$
$Prj_u(a+b)=Prj_ua+Prj_ub$

数量积

$a\cdot b=|a||b|\cos\theta=|a|Prj_ab=|b|Prj_ba=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$
$a\cdot a=|a|^2$
非零向量$a,b$,$a\cdot b=0 \Leftrightarrow a\perp b$

向量积

$c=a\times b,|c|=|a||b|\sin\theta,c$垂直于$a$与$b$所决定的平面，用右手定则，四指从$a$转向$b$，拇指指向$c$的方向。
$a\times a=0$
非零向量$ab$，$a\times b=0 \Leftrightarrow a//b$
$b\times a=-a\times b$
$a\times b= \left|\begin{matrix} i& j & k\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y & b_z\end{matrix}\right|$
同时，$a\times b$ 表示以$a,b$为边的平行四边形面积。

混合积

$[abc]=(a\times b)\cdot c=\left|\begin{matrix}a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y & b_z \\ c_x& c_y & c_z \end{matrix}\right|$

混合积的绝对值表示以向量$a,b,c$为棱的平行六面体体积，$a,b,c$若为右手系则正，左手系为负。

平面表示方法

点法式

如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量。
因为过空间一点可以作而且只能作一平面垂直于一已知直线。
点法式：平面上一点和平面的法线向量。

$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0,\overrightarrow{n}=(A,B,C),M=(x_0,y_0,z_0)$

一般方程

$Ax+By+Cz+D=0, \overrightarrow{n}=(A,B,C)$

$D=0$，表示平面过原点
$A,B,C=0$，分别表示$\overrightarrow{n}$与$x,y,z$轴垂直，即平面与$x,y,z$轴平行

截距式方程

平面相交于坐标轴于$(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)$

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

几个小技巧

已知三点$M_1,M_2,M_3$求平面方程
平面任意一点$M$应该满足$M_1M\cdot (M_1M_2\times M_1M_3)=0$，也就是跟混合积很像的东西了

$\left|\begin{matrix}x-x_1& y-y_1& z-z_1\\ x_2-x_1& y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1& y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{matrix}\right|=0$

夹角

两平面夹角

两平面的法线向量的夹角（通常指锐角或直角）称为两平面的夹角。

$\cos\theta=\frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$

两平面$\prod_1,\prod_2$互相垂直$A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$
两平面$\prod_1,\prod_2$互相平行或重合$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$

点到平面距离

$P_0$到平面$Ax+By+Cz+D=0$距离，任取一点$P_1$

$d=|\overrightarrow{P_0P_1}||\cos\theta|=\frac{|\overrightarrow{P_0P_1}\cdot n|}{|n|}=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

直线表示方法

一般方程

$\left\{\begin{matrix}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{matrix}\right.$

对称式方程 || 点向式方程

如果一个非零向量平行于一条已知直线，那么这个向量就叫做这条直线的方向向量。
过空间一点可作而且只能作一条直线平行于一已知直线。
已知直线$L$上一点$M_0$，和它一方向向量$s=(m,n,p)$
对于直线$L$任意一点$M$，$\overrightarrow{MM_0}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$，有

$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$

此方程组便是直线$L$的方程，叫做直线的对称式方程或点向式方程
任一方向向量$s$的坐标$m,n,p$叫做这直线的一组方向数，而向量$s$的方向余弦叫做该直线的方向余弦

参数方程

由直线的对称式方程，设

$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}=t$

则，直线的参数方程

$\left\{\begin{matrix}x=x_0+mt\\ y=y_0+nt\\z=z_0+pt\end{matrix}\right.$

两直线的夹角

两直线的方向向量的夹角（通常指锐角或直角）叫做两直线的夹角。
设直线$L_1,L_2$方向向量$s_1=(m_1,n_1,p_1),s_2=(m_2,n_2,p_2)$，则夹角$\varphi$.

$\cos\varphi=\frac{|m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2|}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}$

两直线$L_1,L_2$互相垂直$m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2=0$
两直线$L_1,L_2$互相平行或重合$\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2}$

直线与平面的夹角

当直线与平面不垂直是直线和它在平面上的投影直线的夹角$\varphi(0\leqslant \varphi < \frac{\pi}{2})$，称为直线与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为$\frac{\pi}{2}$
设直线方向向量$s=(m,n,p)$，平面法线向量$n=(A,B,C)$，直线与平面夹角$\varphi$.

$sin\varphi =\frac{Am+Bn+Cp}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}}$

直线与平面垂直$\frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}$
直线与平面平行或在平面上$Am+Bn+Cp=0$

平面束方程

直线$L$.

$\left\{\begin{matrix}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{matrix}\right.$

方程$A_1x+B_1y+C_1z+D_1+\lambda (A_2x+B_2y+C_2z+D_2)=0$，能表示所有经过直线的平面，除了方程中第二个平面。
通过定直线的所有平面的全体称为平面束。

直线与平面的交点

解法一：将直线转化成参数方程，带入平面方程。
解法二：求解三元一次方程。

点到直线的距离

解法一：计算直线的方向向量，任取直线上一点，造一个三角形来计算夹角正弦。
解法二：计算直线的方向向量，做过定点以直线方向向量为法向量的平面方程，将直线转化成参数方程求交点，最后求两点距离。
解法三：$d=\frac{|P_0P\times s|}{|s|}$

点到平面的投影

由定点和平面法向量确定一条直线，用直线参数方程求交点。

直线到平面的投影

解法一：用平面束方程，再由两平面垂直可以得到过直线且垂直于已知平面的平面方程，联立即可得到投影方程。
解法二：求法向量和直线与平面的交点再加直线的一个点，确定垂直于已知平面的平面，联立即可得到投影方程。

曲面及其方程

球面

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2$ $Ax^2+Ay^2+Az^2+Dx+Ey+Fz+G=0$

旋转曲面

以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线依次叫做旋转曲面的母线和轴

直线$L$绕另一条与$L$相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫做圆锥面。两直线的交点叫做圆锥的顶点，两直线的夹角$\alpha (0<\alpha <\frac{\pi}{2})$叫做圆锥面的半顶角。

对于绕$z$轴的曲线，原曲线$f(y,z)=0$，旋转后$f(\pm \sqrt{x^2+y^2},z)=0$

圆锥面

$z=\pm \sqrt{x^2+y^2} \cot \alpha$

旋转双曲面

$xOz$平面上的方程$\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=0$
绕$z$轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面，绕$x$轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面。

柱面

如$x^2+y^2=R^2$，不含$z$坐标，可以看做是由平行于$z$轴的直线$l$沿$xOy$面上的圆移动而形成的，这曲面叫做圆柱面,$xOy$面上的圆$x^2+y^2=R^2$叫做它的准线，这平行于$z$轴的直线$l$叫做它的母线。

一般地，直线$L$沿定曲线$C$平行移动形成的轨迹叫做柱面，定直线$C$叫做柱面的准线，动直线 $L$ 叫做柱面的母线。

类似地，方程$y^2=2x$表示母线平行于$z$轴的柱面他的准线是$xOy$面上的抛物线，该柱面叫做抛物柱面。

二次曲面

把三元二次方程$F(x,y,z)=0$所表示的曲面称为二次曲面，把平面称为一次曲面。

椭圆锥面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$
以垂直于$z$轴的平面$z=t$截此平面，$t=0$时得一点$(0,0,0)$；$t\neq 0$时得椭圆$\frac{x^2}{(at)^2}+\frac{y^2}{(bt)^2}=1$
平面$z=t$与曲面$F(x,y,z)=0$的交线称为截痕，通过综合截痕的变化来了解曲面形状的方法称为截痕法。
椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$
把$xOz$面上的椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$绕$z$轴旋转，所得曲面称为旋转椭球面，其方程为$\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$，再把旋转椭球面沿$y$轴方向伸缩$\frac{b}{a}$倍，便得椭球面。
单叶双曲面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
把$xOz$面上的双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$绕$z$轴旋转得到旋转单叶双曲面$\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$，再沿$y$轴方向伸缩$\frac{b}{a}$得到。
双叶双曲面 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$
把$xOz$面上的双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$绕$x$轴旋转得到旋转双叶双曲面$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{c^2}=1$，再沿$y$轴方向伸缩$\frac{b}{c}$得到。
椭圆抛物面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$
把$xOz$面上的抛物线$\frac{x^2}{a^2}=z$绕$z$轴旋转，所得的曲面叫做旋转抛物面，再沿$y$轴方向伸缩$\frac{b}{a}$倍
双曲抛物面 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$
双曲抛物面又称马鞍面
用$x=t$截此平面，截痕为$l$，轨迹为$L$，双曲抛物面母线为$l$，$L$为准线。

还有三种二次曲面椭圆柱面$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，双曲柱面$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，抛物柱面$x^2=ay$

空间曲线及其方程

空间曲线的一般方程

空间曲线可以看做两个曲面的交线，则方程组

$\left\{\begin{matrix}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0 \end{matrix}\right.$

是两个曲面交线的方程，也叫做空间曲线的一般方程。

空间曲线的参数方程

将空间曲线$C$上动点的坐标$x,y,z$表示为参数$t$的函数

$\left\{\begin{matrix}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t) \end{matrix}\right.$

当给定$t=t_1$时，就得到$C$上的一个点$(x_1,y_1,z_1)$；随着$t$的变动便可得到曲线$C$上的全部点，方程组叫做空间曲线的参数方程。

螺旋线

若空间一个点$M$在圆柱面$x^2+y^2=a^2$上以角速度$\omega $绕$z$轴旋转，同时又以线速度$v$沿平行于$z$轴正方向上升，那么$M$构成的图形叫做螺旋线。

$\left\{\begin{matrix}x=a\cos\theta\\y=a\sin\theta\\z=b\theta \end{matrix}\right.,b=\frac{v}{\omega}$

其中，参数为$\theta$，$h=2\pi b$称为螺距，即旋转一周上升的距离

曲面参数方程

$\left\{\begin{matrix}x=x(s,t)\\y=y(s,t)\\z=z(s,t) \end{matrix}\right.$

空间曲线在坐标面上的投影

以曲线$C$为准线、母线平行于$z$轴的柱面叫做曲线$C$关于$xOy$面的投影柱面，投影柱面与$xOy$面的交线叫做空间曲线$C$在$xOy$面上的投影曲线，简称投影。
即在$xOy$面上的投影

$\left\{\begin{matrix}H(x,y)=0\\z=0 \end{matrix}\right.$

第九章多元函数微分法及其应用

多元函数基本概念

平面点集

设$P_0(x_0,y_0)$是$xOy$平面上的一个点，$\delta $是某一正数。与点$P_0(x_0,y_0)$距离小于$\delta $的点$P(x,y)$的全体，称为点$P_0$的$\delta$邻域，记作$U(P_0,\delta )$，即$U(P_0,\delta )=\{P||PP_0|<\delta\}$，点$P_0$的去心$\delta$邻域$\overset{\circ}{U}(P_0,\delta )=\{P|0<|PP_0|<\delta\}$

利用邻域描述点和点集之间的关系

任意一点$P\in R^2$与任意一个点集$E\subset R^2$之间必有以下三种关系的一种

内点：如果存在点$P$的某个邻域$U(P)$，使得$U(P)\subset E$，那么称$P$为$E$的内点
外点：如果存在点$P$的某个邻域$U(P)$，使得$U(P)\cap E=\varnothing$，那么称$P$为$E$的外点
边界点：如果点$P$的任一邻域内既含有属于$E$的点，又含有不属于$E$的点，那么称$P$为$E$的边界点。
$E$的边界点的全体，称为$E$的边界，记作$\partial E$
$E$的内点必属于$E$；$E$的外点必定不属于$E$；而$E$的边界点可能属于$E$，也可能不属于$E$。
聚点：如果对于任意给定的$\delta >0$，点$P$的去心邻域$\overset{\circ}{U}(P,\delta)$内总有$E$种的点，那么称$P$是$E$的聚点。

重要的平面点集

开集：如果点集$E$的点都是$E$的内点，那么称$E$为开集。
闭集：如果点集$E$的边界$\partial E\subset E$，那么称$E$为闭集。
连通集：如果点集$E$内任何两点，都可用折线联结起来，且该折线上的点都属于$E$，那么称$E$为连通集
区域（或开区域）：连通的开集称为区域或开区域。
闭区域：开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域。
有界集：对于平面点集$E$，如果存在某一正数$r$，使得$E\subset U(O,r)$，其中$O$是坐标原点，那么称$E$为有界集。
无界集：一个集合如果不是有界集，就称这个集合为无界集。

多元函数概念

定义：设$D$是$R^2$的一个非空子集，称映射$f:D\rightarrow R$为定义在$D$上的二元函数，通常记为$z=f(x,y),(x,y)\in D$ 或 $z=f(P),P\in D$，其中点集$D$称为该函数的定义域，$x,y$称为自变量，$z$称为因变量。
函数值$f(x,y)$的全体所构成的集合称为函数$f$的值域，记作$f(D)$。
类似的$n$元函数，$u=f(x_1,x_2,…,x_n),(x_1,x_2,…,x_n)\in D$ 或简记为 $u=f(x),x=(x_1,x_2,…,x_n)\in D$，也可记为$u=f(P),P(x_1,x_2,…,x_n)\in D$
$n=1$时，$n$元函数就是一元函数；$n\geqslant 2$时，$n$元函数统称为多元函数。
讨论多元函数$u=f(x)$时，以使这个算式有意义的变元$x$的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域。
$\{(x,y,z)|z=f(x,y),(x,y)\in D\}$这个点集称为二元函数$z=f(x,y)$的图形。

多元函数的基线

定义：设二元函数$f(P)=f(x,y)$的定义域为$D$，$P_0(x_0,y_0)$是$D$的聚点，如果存在常数$A$，对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当点$P(x,y)\in D \cap \overset{\circ}{U}(P_0,\delta)$时，都有$|f(P)-A|=|f(x,y)-A|<\varepsilon$成立，那么就称常数$A$为函数$f(x,y)$当$(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)$时的极限，记作$\lim_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y)=A$ 或 $f(x,y)\rightarrow A((x,y)\rightarrow (x_0,y_0))$，也记作$\lim_{P\rightarrow P_0}f(P)=A$ 或 $f(P)\rightarrow A(P\rightarrow P_0)$
把二元函数的极限叫做二重极限。

多元函数的连续性

定义：设二元函数$f(P)=f(x,y)$的定义域为$D$，$P_0(x_0,y_0)$为$D$的聚点，且$P_0\in D$。如果$\lim_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)$，那么称函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$连续。
设函数$f(x,y)$在$D$上有定义，$D$内的每一个点都是函数定义域的聚点。如果函数$f(x,y)$在$D$的每一点都连续，那么就称函数$f(x,y)$在$D$上连续，或者乘$f(x,y)$是$D$上的连续函数。

定义：设二元函数$f(P)=f(x,y)$的定义域为$D$，$P_0(x_0,y_0)$为$D$的聚点。如果函数$f(x,y)$在点$P_0(x_0,y_0)$不连续，那么称$P_0(x_0,y_0)$为函数$f(x,y)$的间断点。

一切多元初等函数在其定义区域内是连续的，所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。

性质1（有界性与最大值最小值定理）在有界闭区域$D$上的多元连续函数，必定在$D$上有界，且能取得它的最大值和最小值。
性质2（介值定理）在有界闭区域$D$上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。
性质3（一致连续性定理）在有界闭区域$D$上的多元连续函数必定在$D$上一致连续。

偏导数

偏导数定义及其计算法

定义：设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某一邻域内有定义，当$y$固定在$y_0$而$x$在$x_0$处有增量$\Delta x$时，相应的函数有增量$f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)$，如果$\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$存在，那么称此极限为函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处对$x$的偏导数，记作

$\left .\frac{\partial z}{\partial x} \right |_ {\begin{matrix}x=x_0\\y=y_0\end{matrix}},\left .\frac{\partial f}{\partial x} \right |_ {\begin{matrix}x=x_0 \\ y=y_0\end{matrix}},\left . z_x\right |_ {\begin{matrix}x=x_0\\y=y_0\end{matrix}},f_x(x_0,y_0)$

对于多元函数来书豪，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。

高阶偏导数

设函数$z=f(x,y)$在区域$D$内具有偏导数

$\frac{\partial z}{\partial x}=f_x(x,y),\frac{\partial z}{\partial y}=f_y(x,y)$

于是在$D$内$f_x(x,y),f_y(x,y)$都是$x,y$的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，那么称它们是函数$z=f(x,y)$的二阶偏导数，按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：

$\begin{matrix}\frac{\partial}{\partial x}\left (\frac{\partial z}{\partial x}\right )=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=f_{xx}(x,y),\frac{\partial}{\partial y}\left (\frac{\partial z}{\partial x}\right )=\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=f_{xy}(x,y)\\ \frac{\partial}{\partial x}\left (\frac{\partial z}{\partial y}\right )=\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}=f_{yx}(x,y),\frac{\partial}{\partial y}\left (\frac{\partial z}{\partial y}\right )=\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=f_{yy}(x,y)\end{matrix}$

其中第二、三两个偏导数称为混合偏导数。
二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。

定理：如果函数$z=f(x,y)$的两个二阶混合偏导数$\frac{\partial ^2 z}{\partial y\partial x},\frac{\partial ^2z}{\partial x\partial y}$在区域$D$内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等，换句话说，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序壶关。

全微分

全微分定义

$f(x+\Delta x,y)-f(x,y)\approx f_x(x,y)\Delta x$ $f(x,y+\Delta y)-f(x,y)\approx f_y(x,y)\Delta y$

左端分别叫做二元函数对$x$和对$y$的偏增量，而右端分别叫做二元函数对$x$和对$y$的偏微分。
在点$P(x,y)$对应于自变量的增量$\Delta x,\Delta y$的全增量，记作$\Delta z$，即$\Delta z=f(x+\Delta,y+\Delta)-f(x,y)$

定义：设函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的某邻域内有定义，如果函数在点$(x,y)$的全增量$\Delta z=f(x+\Delta,y+\Delta)-f(x,y)$，可表示为$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)$，其中$A$和$B$不依赖于$\Delta x$和$\Delta y$而仅与$x$和$y$有关，$\rho =\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$，那么称函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$可微分，而$A\Delta x+B\Delta y$称为函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全微分，记作$\text{d} z$，即$\text{d} z=A\Delta x+B\Delta y$

在某点可微分，必定连续

定理1（必要条件）如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$可微分，那么该函数在点$(x,y)$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$与$\frac{\partial z}{\partial y}$必定存在，且函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全微分为

$\text{d} z=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y$

定理2（充分条件）如果函数$z=f(x,y)$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$与$\frac{\partial z}{\partial y}$在点$(x,y)$连续，那么函数在该点可微分。

通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。

多元函数求导法则

懒得打那么多了…

$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$

注意一下是$\partial$还是$\text{d}$就行了
这也叫做全导数

无论$u$和$v$是自变量还是中间变量，函数$z=f(u,v)$的全微分形式是一样的，这个性质叫做全微分形式不变性。

隐函数求导公式

一个方程的情况

同上…懒得打太详细

$\frac{\text{d} y}{\text{d} x}=-\frac{F_x}{F_y}$ $\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}$

方程组的情况

隐函数存在定理3 设$F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)$在点$P(x_0,y_0,u_0,v_0)$的某一邻域内具有各个变量的连续偏导数，又$F(x_0,y_0,u_0,v_0)=0,G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0$，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比(Jacobi)式）

$J=\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\frac{\partial F}{\partial u} &\frac{\partial F}{\partial v} \\ \frac{\partial G}{\partial u} &\frac{\partial G}{\partial v} \end{vmatrix}$

在点$P(x_0,y_0,u_0,v_0)$不等于零，而方程组$F(x_0,y_0,u_0,v_0)=0,G(x_0,y_0,u_0,v_0)=0$在点$P(x_0,y_0,u_0,v_0)$的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数$u=u(x,y),v=v(x,y)$，它们满足条件$u_0=u(x,y),v_0=v(x,y)$，并有

$\frac{\partial u}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,v)}=-\frac{\begin{vmatrix} F_x &F_v \\ G_x &G_v \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u &F_v \\ G_u &G_v \end{vmatrix}}$ $\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,x)}=-\frac{\begin{vmatrix} F_u &F_x \\ G_u &G_x \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u &F_v \\ G_u &G_v \end{vmatrix}}$ $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,v)}=-\frac{\begin{vmatrix} F_y &F_v \\ G_y &G_v \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u &F_v \\ G_u &G_v \end{vmatrix}}$ $\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,y)}=-\frac{\begin{vmatrix} F_u &F_y \\ G_u &G_y \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}F_u &F_v \\ G_u &G_v \end{vmatrix}}$

多元函数微分学的几何应用

一元向量值函数及其导数

定义1 设数集$D\subset R$，则称映射$f:D\rightarrow R^n$为一元向量值函数，通常记为$r=f(t),t\in D$，其中数集$D$称为函数的定义域，$t$称为自变量，$r$称为因变量。

定义2 设向量值函数$f(t)$在点$t_0$的某一去心邻域内有定义，如果存在一个常向量$r_0$，对于任意给定的正数$\varepsilon $，总存在正数$\delta $，使得当$t$满足$0<|t-t_0|<\delta $时，对应的函数值$f(t)$都满足不等式$|f(t)-r_0|<\varepsilon$，那么，常向量$r_0$就叫做向量值函数$f(t)$当$t\rightarrow t_0$时的极限，记作$\lim_{t\rightarrow t_0}f(t)=r_0$ 或 $f(t)\rightarrow r_0,t\rightarrow t_0$

定义3 设向量值函数$r=f(t)$在点$t_0$的某一邻域内有定义，如果$\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta r}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{f(t_0+\Delta t)-f(t_0)}{\Delta t}$存在，那么就称这个极限向量为向量值函数$r=f(t)$在$t_0$处的导数或导向量，记作$f’(t_0)$或$\left .\frac{\text{d} r}{\text{d} t}\right |_ {t=t_0}$

注意切向量有正负两个

空间曲线的切线与法平面

空间曲线参数方程

$\left\{\begin{matrix}x=\varphi(t)\\ y=\psi (t)\\z=\omega (t)\end{matrix}\right.$

在点$M(x_0,y_0,z_0)$处的切线方程

$\frac{x-x_0}{\varphi'(t_0)}=\frac{y-y_0}{\psi'(t_0)}=\frac{z-z_0}{\omega'(t-t_0)}$

法平面方程

$\varphi'(t_0)(x-x_0)+\psi' (t)(y-y_0)+\omega' (t)(z-z_0)=0$

曲线的切平面与法线

曲面上通过点$M$的一切曲线在点$M$的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面$\Sigma $在点$M$的切平面，这个切平面的方程是

$F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0$

通过点$M(x_0,y_0,z_0)$且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线，法线方程是

$\frac{x-x_0}{F_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(x_0,y_0,z_0)}$

垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量，向量

$n=(F_x(x_0,y_0,z_0),F_y(x_0,y_0,z_0),F_y(x_0,y_0,z_0))$

方向导数与梯度

方向导数

定理如果函数$f(x,y)$在点$P(x_0,y_0)$可微分，那么函数在该点沿任一方向$l$的方向导数存在，且有

$\left .\frac{\partial f}{\partial l}\right |_ {(x_0,y_0)}=f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta$

其中，$\cos \alpha$和$\cos \beta$是方向$l$的方向余弦。

梯度

$\mathbf{grad}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)i+f_y(x_0,y_0)j$

其中$\nabla =\frac{\partial}{\partial x}i+\frac{\partial}{\partial y}j$称为（二维的）向量微分算子或Nabla算子。

$\begin{align*} \left .\frac{\partial f}{\partial l}\right |_ {(x_0,y_0)}&= f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta\\ &= \mathbf{grad}f(x_0,y_0)\cdot e_l=|\mathbf{grad}f(x_0,y_0)|\cos \theta\\& \theta=(\widehat{\mathbf{grad}f(x_0,y_0),e_l})\end{align*}$

类似地，可以推广到三元函数的情形

数量场向量场引力场

如果对于空间区域$G$内的任一点$M$，都有一个确定的数量$f(M)$，那么称在这空间区域$G$内确定了数量场。一个数量场可用一个数量函数$f(M)$来确定，如果与点$M$相对应的是一个向量$F(M)$，那么称在这空间区域$G$内确实能够了一个向量场。一个向量场可用一个向量值函数$F(M)$来确定，而$F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k$，其中$P(M),Q(M),R(M)$是点$M$的数量函数。
若向量场$F(M)$是某个数量函数$f(M)$的梯度，则称$f(M)$是向量场$F(M)$的一个势函数，并称向量场$F(M)$为势场。

多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及最大值和最小值

定义设函数$z=f(x,y)$的定义域为$D$，$P_0(x_0,y_0)$为$D$的内点，若存在$P_0$的某个邻域$U(P_0)\subset D$，使得对于该邻域内异于$P_0$的任何点$(x,y)$，都有$f(x,y) < f(x_0,y_0)$，则称函数$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$有极大值$f(x_0,y_0)$，点$(x_0,y_0)$称为函数的极大值点。
类似地，可以定义极小值点，极大值与极小值统称为极值，使得函数取得极值的点称为极值点。

定理1（必要条件）设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$具有偏导数，且在点$(x_0,y_0)$处有极值，则有$f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0$

凡是能使$f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0$成立的点$x_0,y_0$称为函数$z=f(x,y)$的驻点

定理2（充分条件）设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的某一邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又$f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0$，令

$f_{xx}(x_0,y_0)=A,f_{xy}(x_0,y_0)=B,f_{yy}(x_0,y_0)=C$

则$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处是否取得极值的条件如下：
（1）$AC-B^2>0$时具有极值，且当$A<0$时有极大值，当$a>0$时有极小值；
（2）$AC-B^2<0$时没有极值；
（3）$AC-B^2=0$时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。

条件极值

对于函数自变量，除了限制在函数的定义域内外，并无其他条件，称为无条件极值。
对自变量有附加条件的极值称为条件极值。
有时需要将条件极值转化成无条件极值进行计算。

拉格朗日乘数法

一种寻求条件极值的方法
要找函数$z=f(x,y)$在附加条件下$\varphi(x,y)=0$下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数

$L(x,y)=f(x,y)+\lambda \varphi(x,y)$

其中$\lambda $为参数，称为拉格朗日乘子，求其对$x$与$y$的一阶偏导数，并使之为零，$L_x(x,y)=0,L_y(x,y)=0$，联立可得

$\left\{\begin{matrix}f_x(x,y)+\lambda \varphi_x(x,y)=0\\ f_y(x,y)+\lambda \varphi_y(x,y)=0\\\varphi(x,y)=0 \end{matrix}\right.$

由此解出$x,y,\lambda$，这样得到的$(x,y)$就是函数$f(x,y)$在附加条件$\varphi(x,y)=0$下的可能极值点
$\lambda$表示的是$-\frac{f_y(x_0,y_0)}{\varphi_y(x_0,y_0)}$

多变量多条件情况下的拉格朗日函数

$L(x,y,z,t)=f(x,y,z,t)+\lambda \varphi(x,y,z,t)+\mu \psi(x,y,z,t)$

第十章重积分

二重积分的概念与性质

概念

曲顶柱体：它的底是$xOy$面上的闭区域，则侧面是以$D$的边界曲线为准线，母线平行于$z$轴的柱面，顶是曲面。

定义：设$f(x,y)$是有界闭区域$D$上的有界函数，将闭区域$D$任意分成$n$个小闭区域$\Delta \sigma_1, \Delta \sigma_2,…,\Delta \sigma_n$，其中$\Delta \sigma_i$表示第$i$个小闭区域，也表示它的表面积。在每个$\Delta \sigma_i$上任取一点$(\xi_i, \eta_i)$，作乘积$f(\xi_i, \eta_i)\Delta \sigma_i(i=1,2,…,n)$，并作和$\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i, \eta_i)\Delta \sigma_i$。如果当各小闭区域的直径中的最大值$\lambda \rightarrow 0$时，这和的极限总存在，且与闭区域$D$的分法及点$(\xi_i, \eta_i)$的取法无关，那么称此极限为函数$f(x,y)$在闭区域$D$上的二重积分，记作$\iint_{D}f(x,y)\text{d}\sigma$，即

$\iint_{D}f(x,y)\text{d}\sigma=\lim_{\lambda \rightarrow 0}{\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i, \eta_i)\Delta \sigma_i}$

其中$f(x,y)$叫做被积函数，$f(x,y)\text{d}\sigma$叫做被积表达式，$\text{d}\sigma$叫做面积元素，$x$与$y$叫做积分变量，$D$叫做积分区域，
$\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i, \eta_i)\Delta \sigma_i$叫做积分和。
$\text{d}\sigma$有时记作$\text{d}x\text{d}y$叫做直角坐标系中的面积元素

性质

性质1 $\iint _{D}{[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]\text{d}\sigma}=\alpha \iint_{D}f(x,y)\text{d}\sigma+\beta \iint_{D}g(x,y)\text{d}\sigma$
性质2 积分区域可加性 $\iint_{D}f(x,y)\text{d}\sigma=\iint_{D_1}f(x,y)\text{d}\sigma+\iint_{D_2}f(x,y)\text{d}\sigma,D=D_1+D_2$
性质3 $\sigma=\iint_{D}1\cdot\text{d}\sigma=\iint_{D}\text{d}\sigma$
性质4
如果在$D$上，$f(x,y)\leqslant g(x,y)$，那么有 $\iint_{D}f(x,y)\text{d}\sigma\leqslant \iint_{D}g(x,y)\text{d}\sigma$ 特殊地，由于 $-|f(x,y)|\leqslant f(x,y)\leqslant |f(x,y)|$ 又有 $\left |\iint_{D}f(x,y)\text{d}\sigma\right |\leqslant \iint_{D}|f(x,y)|\text{d}\sigma$
性质5 设$M$和$m$分别是$f(x,y)$在闭区域$D$上的最大值和最小值 $m\sigma\leqslant \iint_{D}f(x,y)\text{d}\sigma\leqslant M\sigma$ $\iint_{D}m\text{d}\sigma\leqslant \iint_{D}f(x,y)\text{d}\sigma\leqslant \iint_{D}M\text{d}\sigma$
性质6（二重积分的中值定理）设函数$f(x,y)$在闭区域$D$连续，$\sigma$是$D$的面积，则在$D$上至少存在一点$(\xi_i, \eta_i)$，使得 $\iint_{D}f(x,y)\text{d}\sigma=f(\xi_i, \eta_i)\sigma$

二重积分的计算法

利用直角坐标计算二重积分

转化成二次积分

$\iint_{D}f(x,y)\text{d}\sigma=\int_{a}^{b}{\text{d}x\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\text{d}y}$ $\iint_{D}f(x,y)\text{d}\sigma=\int_{a}^{b}{\text{d}y\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)\text{d}x}$

积分的时候注意是不是$X$型区域或$Y$型区域

利用极坐标计算二重积分

$\iint_{D}f(x,y)\text{d}\sigma=\iint_{D}f(\rho \cos \theta,\rho \cos \theta)\rho\text{d}\rho\text{d}\theta$

$\rho\text{d}\rho\text{d}\theta$就是极坐标中的面积元素

$\iint_{D}f(\rho \cos \theta,\rho \cos \theta)\rho\text{d}\rho\text{d}\theta=\int_{\alpha}^{\beta}\text{d}\theta\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}f(\rho \cos \theta,\rho \cos \theta)\rho\text{d}\rho$

面积

$\sigma=\iint_{D}\rho\text{d}\rho\text{d}\theta=\int_{\alpha}^{\beta}\text{d}\theta\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}\rho\text{d}\rho=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}[\varphi_{2}^{2}(\theta)-\varphi_{1}^{2}(\theta)]\text{d}\theta$

例题反常积分的计算
反常积分$\int_{0}^{+\infty }e^{-x^2}\text{d}x$
设

$\begin{align*}D_1&= \{(x,y)|x^2+y^2\leqslant R^2,x\geqslant 0,y\geqslant 0\} \\ D_2 &= \{(x,y)|x^2+y^2\leqslant 2R^2,x\geqslant 0,y\geqslant 0\}\\ S &=\{(x,y)|0\leqslant x\leqslant R,0\leqslant y\leqslant R\} \end{align*}$

显然$D_1\subset S\subset D_2$，有二重积分不等式

$\iint_{D_1}e^{-x^2-y^2}\text{d}x\text{d}y < \iint_{S}e^{-x^2-y^2}\text{d}x\text{d}y<\iint_{D_2}e^{-x^2-y^2}\text{d}x\text{d}y$

又因为

$\iint_{S}e^{-x^2-y^2}\text{d}x\text{d}y=\int_{0}^{R}e^{-x^2}\text{d}x\cdot \int_{0}^{R}e^{-y^2}\text{d}y=\left (\int_{0}^{R}e^{-x^2}\text{d}x\right )^2$

而

$\iint_{D_1}e^{-x^2-y^2}\text{d}x\text{d}y=\frac{\pi}{4}(1-e^{-R^2}),\iint_{D_2}e^{-x^2-y^2}\text{d}x\text{d}y=\frac{\pi}{4}(1-e^{-2R^2})$

不等式可写成

$\frac{\pi}{4}(1-e^{-R^2})<\left (\int_{0}^{R}e^{-x^2}\text{d}x\right )^2<\frac{\pi}{4}(1-e^{-2R^2})$

令$R\rightarrow +\infty$，上式左右两端趋于同一极限$\frac{\pi}{4}$，从而

$\int_{0}^{+\infty }e^{-x^2}\text{d}x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$

三重积分

概念

$\iiint_{\Omega }f(x,y,z)\text{d}v=\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=0}^{n}f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i )\Delta v_i$

其中$\text{d}v$称为体积元素，$\text{d}v=\text{d}x\text{d}y\text{d}z$叫做直角坐标系中的体积元素
$\Omega$是该物体所占有的空间闭区域

三重积分的计算

直角坐标中计算三重积分
转换成三次积分

$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\text{d}v=\int_{a}^{b}\text{d}x\int_{y_1(x)}^{y_2(x)}\text{d}y\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\text{d}z$

转换成一个二重积分和一个定积分

$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\text{d}v=\int_{c_1}^{c_2}\text{d}z\iint_{D_z}f(x,y,z)\text{d}x\text{d}y$

利用柱面坐标计算三重积分
柱面坐标与直角坐标对应关系

$\left\{\begin{matrix}x=\rho\cos\theta\\ y=\rho\sin\theta\\ z=z\end{matrix}\right.$

$\text{d}v=\rho\text{d}\rho\text{d}\theta\text{d}z$，叫做柱面坐标系中的体积元素

$\iiint_{\Omega}f(x,y,z)\text{d}v=\iiint_{\Omega}F(\rho,\theta,z)\rho\text{d}\rho\text{d}\theta\text{d}z$

其中$F(\rho,\theta,z)=f(\rho\cos\theta,\rho\sin\theta,z)$

重积分的应用

曲面的面积

$\text{d}A=\frac{\text{d}\sigma}{\cos\gamma }$

因为

$\cos\gamma =\frac{1}{\sqrt{1+f^2_x(x,y)+f_y^2(x,y)}}$

所以

$\text{d}A=\sqrt{1+f^2_x(x,y)+f_y^2(x,y)}\text{d}\sigma$

这就是曲面$S$的面积元素，积分得

$A=\iint_{D}\sqrt{1+f^2_x(x,y)+f_y^2(x,y)}\text{d}\sigma$

质心

平面薄片质心
设在$xOy$平面上有$n$个质点，它们分别位于点$(x_1,y_1),(x_2,y_2),…,(x_n,y_n)$处，质量分别为$m_1,m_2,…,m_n$，由力学知道，该质点系的质心坐标为

$\bar{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_ix_i}{\sum_{i=1}^{n}m_i},\bar{y}=\frac{M_x}{M}=\frac{\sum_{i=1}^{n}m_iy_i}{\sum_{i=1}^{n}m_i}$

其中$M=\sum_{i=1}^nm_i$为质点系的总质量，$M_y=\sum_{i=1}^nm_ix_i,M_x=\sum_{i=1}^nm_iy_i$分别为该质点系对$y$轴和$x$轴的静矩。
平面薄片在点$(x,y)$处密度$\mu(x,y)$
静矩元素$\text{d}M_y=x\mu(x,y)\text{d}\sigma,\text{d}M_x=y\mu(x,y)\text{d}\sigma$
积分得

$M_y=\iint_{D}x\mu(x,y)\text{d}\sigma,M_x=\iint_{D}y\mu(x,y)\text{d}\sigma$

薄片质量

$M=\iint_{D}\mu(x,y)\text{d}\sigma$

质心坐标

$\bar{x}=\frac{M_y}{M}=\frac{\iint_{D}x\mu(x,y)\text{d}\sigma}{\iint_{D}\mu(x,y)\text{d}\sigma},\bar{y}=\frac{M_x}{M}=\frac{\iint_{D}y\mu(x,y)\text{d}\sigma}{\iint_{D}\mu(x,y)\text{d}\sigma}$

如果各点密度相同，那么可以约去，我们吧均匀平面薄片的质心叫做这平面薄片所占的平面图形的形心。

转动惯量

$n$个点对于$x$轴和$y$轴的转动惯量依次为

$I_x=\sum_{i=1}^ny_i^2m_i,I_y=\sum_{i=1}^nx_i^2m_i$

转动惯量元素

$\text{d}I_x=y^2\mu(x,y)\text{d}\sigma,\text{d}I_y=x^2\mu(x,y)\text{d}\sigma$

积分得

$I_x=\iint_{D}y^2\mu(x,y)\text{d}\sigma,I_y=\iint_{D}x^2\mu(x,y)\text{d}\sigma$

引力

$\text{d}F=(\text{d}F_x,\text{d}F_y,\text{d}F_z)=(G\frac{\rho(x,y,z)(x-x_0)}{r^3}\text{d}v,G\frac{\rho(x,y,z)(y-y_0)}{r^3}\text{d}v,G\frac{\rho(x,y,z)(z-z_0)}{r^3}\text{d}v)$

其中$r=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}$
所以，积分得

$F=(F_x,F_y,F_z)=(\iiint_{\Omega}G\frac{\rho(x,y,z)(x-x_0)}{r^3}\text{d}v,\iiint_{\Omega}G\frac{\rho(x,y,z)(y-y_0)}{r^3}\text{d}v,\iiint_{\Omega}G\frac{\rho(x,y,z)(z-z_0)}{r^3}\text{d}v)$

第十一章曲线积分与曲面积分

对弧长的曲线积分

对弧长的曲线积分的概念与性质

定义设$L$为$xOy$面内的一条光滑曲线弧，函数$f(x,y)$在$L$上有界，在$L$上任意插入一点列$M_1,M_2,…,M_{n-1}$把$L$分成$n$个小段，设第$i$个小段的长度为$\Delta s_i$，又$(\xi_i,\eta_i)$为第$i$个小段上任意取定的一点，作乘积$f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i(i=1,2,…,n)$，并作和$\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i$，如果当各个小弧段的长度的最大值$\lambda \rightarrow 0$时，这和的极限总存在，且与曲线弧$L$的分法及点$(\xi_i,\eta_i)$的取法无关，那么称此极限为函数$f(x,y)$在曲线弧$L$上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作$\int_{L}f(x,y)\text{d}s$，即

$\int_{L}f(x,y)\text{d}s=\lim_{\lambda\rightarrow 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i$

其中$f(x,y)$叫做被积函数，$L$叫做积分弧段。

性质1 $\int_{L}[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]\text{d}s=\alpha\int_{L}f(x,y)\text{d}s+\beta\int_{L}g(x,y)\text{d}s$
性质2 $\int_{L}f(x,y)\text{d}s=\int_{L_1}f(x,y)\text{d}s+\int_{L_2}f(x,y)\text{d}s,L=L_1+L_2$
性质3 设在$L$上有$f(x,y)\leqslant g(x,y)$，则 $\int_{L}f(x,y)\text{d}s\leqslant \int_{L}g(x,y)\text{d}s$ 特别地，有 $\left |\int_{L}f(x,y)\text{d}s \right |\leqslant \int_{L}|f(x,y)|\text{d}s$

对弧长的曲线积分的计算法

定理设$f(x,y)$在曲线弧$L$上有定义且连续，$L$的参数方程为

$\left\{\begin{matrix}x=\varphi(t)\\ y=\psi(t)\end{matrix}\right.,(\alpha \leqslant t\leqslant \beta)$

若$\varphi(t),\psi(t)$在$[\alpha,\beta]$上具有一阶连续导数，且$\varphi ‘^2(t)+\psi ‘^2(t)\neq 0$，则曲线积分$\int_{L}f(x,y)\text{d}s$存在，且

$\int_{L}f(x,y)\text{d}s=\int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t),\psi(t)]\sqrt{\varphi '^2(t)+\psi '^2(t)}\text{d}t,(\alpha < \beta)$

对坐标的曲线积分

对坐标的曲线积分的概念和性质

函数$P(x,y)$在有向曲线弧$L$上对坐标$x$的曲线积分

$\int_{L}P(x,y)\text{d}x=\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^nP(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i$

函数$Q(x,y)$在有向曲线弧$L$上对坐标$y$的曲线积分

$\int_{L}Q(x,y)\text{d}y=\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^nQ(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i$

其中$P(x,y),Q(x,y)$叫做被积函数，$L$叫做积分弧段。
以上两个积分也称为第二类曲线积分。

经常出现的

$\int_{L}P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y$

也可写成向量形式

$\int_{L}F(x,y)\cdot \text{d}r,F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j,\text{d}r=\text{d}xi+\text{d}yj$

性质1 $\int_{L}[\alpha F_1(x,y)+\beta F_2(x,y)]\cdot \text{d}r=\alpha\int_{L}F_1(x,y)\text{d}r+\beta\int_{L}F_2(x,y)\cdot \text{d}r$
性质2 $\int_{L}F(x,y)\cdot \text{d}r=\int_{L_1}F(x,y)\cdot \text{d}r+\int_{L_2}F(x,y)\cdot \text{d}r,L=L_1+L_2$
性质3 $L^{-}$是$L$的反向曲线弧 $\int_{L^{-}}F(x,y)\cdot \text{d}=-\int_{L}F(x,y)\cdot \text{d}r$

对坐标的曲线积分计算法

$\int_{L}P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y=\int_{\alpha}^{\beta}\{P[\varphi(t),\psi(t)]\varphi '(t)+Q[\varphi(t),\psi(t)]\psi '(t)\}\text{d}t$

两类曲线积分之间的联系

$\int_{L}P\text{d}x+Q\text{d}y=\int_{L}(P\cos \alpha + Q\cos \beta)\text{d}s$

其中$\alpha(x,y),\beta(x,y)$是有向曲线弧$L$在点$(x,y)$处的切向量的方向角。
也可以写成向量形式

$\int_{\Gamma }A\cdot \text{d}r=\int_{\Gamma }A\cdot \tau\text{d}s,A=(P,Q,R),\tau =(\cos \alpha,\cos \beta,\cos \gamma )$

$\tau$为单位切向量，$\text{d}r=\tau\text{d}s=(\text{d}x,\text{d}y,\text{d}z)$称为有向曲线元。

格林公式及其应用

平面连通区域

设$D$为平面区域，若$D$内任一闭曲线所围成的部分都属于$D$，则称$D$为平面单连通区域，否则称为复连通区域。

格林公式

定理1 设闭区域$D$由分段光滑的曲线$L$围成，若函数$P(x,y)$及$Q(x,y)$在$D$上具有一阶连续偏导数，则有

$\iint_{D}\left (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\text{d}x\text{d}y=\oint_{L}P\text{d}x+Q\text{d}y$

其中$L$是$D$的取正向的边界曲线，公式叫做格林公式。

平面上曲线积分与路径无关的条件

设$G$是一个区域，$P(x,y)$以及$Q(x,y)$在区域$G$内具有一阶连续偏导数，如果对于$G$内任意指定的两个点$A,B$以及$G$内从点$A$到点$B$的任意两条曲线$L_1,L_2$，等式

$\int_{L_1}P\text{d}x+Q\text{d}y=\int_{L_2}P\text{d}x+Q\text{d}y$

恒成立，就说曲线积分$\int_{L}P\text{d}x+Q\text{d}y$在$G$内与路径无关，否则便说与路径有关。
换句话说，将其中一条曲线反向就可以得到，曲线积分在$G$内沿任意闭曲线$C$的曲线积分$\oint_{C}P\text{d}x+Q\text{d}y$等于零。

定理2 设区域$G$是一个单连通区域，若函数$P(x,y),Q(x,y)$在$G$内具有一阶连续偏导数，则曲线积分$\int_{L}P\text{d}x+Q\text{d}y$在$G$内与路径无关（或沿$G$内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是

$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

在$G$内恒成立。

其中破坏$P,Q,\frac{\partial P}{\partial y},\frac{\partial Q}{\partial x}$连续性的点叫做奇点。

二元函数的全微分求积

定理3 设区域$G$是一个单连通区域，若函数$P(x,y),Q(x,y)$在$G$内具有一阶连续偏导数，则$P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y$在$G$内为某一函数$u(x,y)$的全微分的充分必要条件是

$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$

在$G$内恒成立。

也就是$\text{d}u=P(x,y)\text{d}x+Q(x,y)\text{d}y$

$u(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)}P(s,t)\text{d}s+Q(s,t)\text{d}t$

与路径无关也就是变成折线路径

$u(x,y)=\int_{x_0}^{x}P(x,y_0)\text{d}x+\int_{y_0}^{y}Q(x,y)\text{d}y$

推论：设区域$G$是一个单连通区域，若函数$P(x,y),Q(x,y)$在$G$内具有一阶连续偏导数，则曲线积分$\int_{L}P\text{d}x+Q\text{d}y$在$G$内与路径无关的充分必要条件是
在$G$内存在函数$u(x,y)$，使$\text{d}u=P\text{d}x+Q\text{d}y$

对面积的曲面积分

概念及性质

定义：设曲面$\Sigma$是光滑的，函数$f(x,y,z)$在$\Sigma$上有界，把$\Sigma$任意分成$n$小块$\Delta S_i$（$\Delta S_i$同时也代表第$i$小块曲面的面积），设$(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$是$\Delta S_i$上任意取定的一点，做乘积$f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i$，并作和$\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i$，如果当各小块曲面的直径最大值$\lambda \rightarrow 0$时，这和的极限总存在，且与曲面$\Sigma$的分法以及点$(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$的取法无关，那么称此极限为函数$f(x,y,z)$在曲面$\Sigma$上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作$\iint_{\Sigma}f(x,y,z)\text{d}S$，即

$\iint_{\Sigma}f(x,y,z)\text{d}S=\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i$

其中，$f(x,y,z)$叫做被积函数，$\Sigma$叫做积分曲面。

$\iint_{\Sigma}f(x,y,z)\text{d}S=\iint_{\Sigma_1}f(x,y,z)\text{d}S+\iint_{\Sigma_2}f(x,y,z)\text{d}S,\Sigma=\Sigma_1+\Sigma_2$

性质跟对弧长的曲线积分相似。

计算法

转化成二重积分

$\iint_{\Sigma}f(x,y,z)\text{d}S=\iint_{D_{x,y}}f[x,y,z(x,y)]\sqrt{1+z_x^2(x,y)+z_y^2(x,y)}\text{d}x\text{d}y$

对坐标的曲面积分

概念和性质

对于曲面$z=z(x,y)$，如果取它的法向量$n$指向朝上，我们就认为取定曲面上侧；又如，对于闭曲面如果取它的法向量指向朝外，我们就认为取定曲面的外侧，这种取定了法向量亦即选定了侧的曲面，就称为有向曲面。

小曲面$\Delta S$在有向曲面上的投影，$(\Delta \sigma)_ {xy}$为投影区域面积，$\gamma$为各点处的法向量与$z$轴的夹角

$(\Delta S)_ {xy}=\left\{\begin{matrix}(\Delta \sigma)_ {xy},&& \cos \gamma >0\\ -(\Delta \sigma)_ {xy},&& \cos \gamma <0\\ 0,&& \cos \gamma \equiv 0\end{matrix}\right.$

定义设$\Sigma$为光滑的有向曲面，函数$R(x,y,z)$在$\Sigma$上有界，把$\Sigma$任意分成$n$块小曲面$\Delta S_i$（$\Delta S_i$同时又表示第$i$块小曲面的面积），$\Delta S_i$在$xOy$面上的投影为$(\Delta S_i)_ {xy}$，$(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$是$\Delta S_i$上任意取定的一点，作乘积$R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_ {xy}$，并作和$\sum_{i=1}^{n}R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_ {xy}$，如果当各小块曲面的直径的最大值$\lambda \rightarrow 0$时，这和的极限总存在，且与曲面$\Sigma$的分法及点$(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$的取法无关，那么称此极限为函数$R(x,y,z)$在有向曲面$\Sigma$上对坐标$x,y$的曲面积分，记作$\iint_{\Sigma}R(x,y,z)\text{d}x\text{d}y$
即

$\iint_{\Sigma}R(x,y,z)\text{d}x\text{d}y=\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_ {xy}$

类似定义对坐标$x,z$和对坐标$y,z$的曲面积分

$\iint_{\Sigma}P(x,y,z)\text{d}y\text{d}z=\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_ {yz}$ $\iint_{\Sigma}Q(x,y,z)\text{d}x\text{d}z=\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_ {xz}$

合并

$\iint_{\Sigma}P(x,y,z)\text{d}y\text{d}z+Q(x,y,z)\text{d}x\text{d}z+R(x,y,z)\text{d}x\text{d}y$

对坐标的曲面积分具有对坐标的曲线积分类似的性质

$\iint_{\Sigma}P\text{d}y\text{d}z+Q\text{d}x\text{d}z+R\text{d}x\text{d}y=\iint_{\Sigma_1}P\text{d}y\text{d}z+Q\text{d}x\text{d}z+R\text{d}x\text{d}y+\iint_{\Sigma_2}P\text{d}y\text{d}z+Q\text{d}x\text{d}z+R\text{d}x\text{d}y,\Sigma=\Sigma_1+\Sigma_2$

设$\Sigma$是有向曲面，$\Sigma^{-}$表示与$\Sigma$取相反侧的有向曲面，则

$\iint_{\Sigma^{-}}P\text{d}y\text{d}z=-\iint_{\Sigma}P\text{d}y\text{d}z$ $\iint_{\Sigma^{-}}Q\text{d}x\text{d}z=-\iint_{\Sigma}Q\text{d}x\text{d}z$ $\iint_{\Sigma^{-}}R\text{d}x\text{d}y=-\iint_{\Sigma}R\text{d}x\text{d}y$

关于对坐标的曲面积分，我们必须注意积分曲面所取的侧。

计算法

根据上下侧，转化成二重积分计算

$\iint_{\Sigma}R(x,y,z)\text{d}x\text{d}y=\pm \iint_{D_{xy}}R[x,y,z(x,y)]\text{d}x\text{d}y$ $\iint_{\Sigma}P(x,y,z)\text{d}y\text{d}z=\pm \iint_{D_{yz}}P[x(y,z),y,z]\text{d}y\text{d}z$ $\iint_{\Sigma}Q(x,y,z)\text{d}x\text{d}z=\pm \iint_{D_{xy}}Q[x,y(x,z),z]\text{d}x\text{d}z$

两类曲面积分之间的联系

$\iint_{\Sigma}P\text{d}y\text{d}z+Q\text{d}x\text{d}z+R\text{d}x\text{d}y=\iint_{\Sigma}(P\cos \alpha+Q\cos \beta+R\cos\gamma)\text{d}S$

向量形式

$\iint_{\Sigma}A\cdot \text{d}S=\iint_{\Sigma}A\cdot n\text{d}S,A=(P,Q,R),n=(\cos \alpha,\cos \beta, \cos \gamma)$

$\text{d}\mathbf{S}=\mathbf{n}\text{d}S=(\text{d}y\text{d}z,\text{d}x\text{d}z,\text{d}x\text{d}y)$称为有向曲面元。

高斯公式

定理1 设空间闭区域$\Omega$是由分片光滑的闭曲面$\Sigma$所围成，若函数$P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$在$\Omega$上具有一阶连续偏导数，则有

$\iint_{\Omega}\left ( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}+ \frac{\partial R}{\partial z} \right )\text{d} v=\iint_{\Sigma}P\text{d}y\text{d}z+Q\text{d}z\text{d}x+R\text{d}x\text{d}y$

或

$\iint_{\Omega}\left ( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}+ \frac{\partial R}{\partial z} \right )\text{d} v=\iint_{\Sigma}(P\cos \alpha + Q\cos \beta + R\cos \gamma)\text{d}S$

这里$\Sigma$是$\Omega$的整个边界曲面的外侧，$\cos \alpha,\cos \beta, \cos \gamma$是在$\Sigma$在点$(x,y,z)$处的法向量的方向余弦，这个公式叫做高斯公式。

（将三重积分与曲面积分联系）

$\iint_{\Omega}u\Delta v\text{d}x\text{d}y\text{d}z=\iint_{\Sigma}\frac{\partial v}{\partial n}\text{d}S-\iiint_{\Omega}\left ( \frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial v}{\partial z}\right )\text{d}x\text{d}y\text{d}z$

其中$\Sigma$是闭区域$\Omega$的整个边界曲面，$\frac{\partial v}{\partial n}$为函数$v(x,y,z)$沿$\Sigma$的外法线方向的方向导数，符号$\Delta=\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2}{\partial z^2}$称为拉普拉斯（Laplace）算子，这个公式叫做格林第一公式。

$\iiint_{\Omega}(u\Delta v-v\Delta u)\text{d}x\text{d}y\text{d}z=\iint_{\Sigma}\left (u\frac{\partial v}{\partial n}-v\frac{\partial u}{\partial n}\right )$

其中$\Sigma$是空间闭区域$\Omega$的整个边界曲面，这个公式叫做格林第二公式。

斯托克斯公式

定理1 设$\Gamma$为分段光滑的空间有向闭曲线，$\Sigma$是以$\Gamma$为边界的分片光滑的有向曲面，$\Gamma$的正向与$\Sigma$的侧符合右手规则，若函数$P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$在曲面$\Sigma$（连同边界$\Gamma$）上具有一阶连续偏导数，则有

$\iint_{\Sigma}\left ( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\text{d}y \text{d}z+\left ( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\text{d}x \text{d}z+\left ( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\text{d}x \text{d}y \right ) \right ) \right )=\oint_{\Gamma}P\text{d}x+Q\text{d}y+R\text{d}z$

这个公式叫做斯托克公式。

（将曲面积分转化成曲线积分）
根据两类曲面积分间的关系可以得到另一形式

$\iint_{\Sigma}\begin{vmatrix}\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ P & Q & R\end{vmatrix}\text{d}S=\oint_{\Gamma}P\text{d}x+Q\text{d}y+R\text{d}z$

第十二章无穷级数

常数项级数的概念性质

概念

一般地，如果给定一个数列

$u_1,u_2,u_3,...,u_n,...$

那么由这数列构成的表达式

$u_1+u_2+u_3+...+u_n+...$

叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为$\sum_{i=1}^{\infty}u_i$
其中第$n$项$u_n$叫做级数的一般项。

定义：如果级数$\sum_{i=1}^{\infty}u_i$的部分和数列$\{s_n\}$有极限$s$，即

$\lim_{n\rightarrow \infty}s_n=s$

那么称无穷级数$\sum_{i=1}^{\infty}u_i$收敛，这时极限$s$叫做这级数的和，并写成

$s=u_1+u_2+u_3+...+u_n+...$

如果$\{s_n\}$没有极限，那么称无穷级数发散

$r_n=s-s_n=u_{n+1}+u_{n+2}+...$

叫做级数的余项

性质

性质1 如果级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛于和$s$，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}ku_n$也收敛，且其和为$ks$
即，级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不会改变
性质2 如果级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$与$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$分别收敛于$s$和$\sigma$，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}(u_n\pm v_n)$也收敛，且其和为$s\pm \sigma$
即，两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减
性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。
性质4 如果级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛，那么对这级数的项任意加括号后所成的级数$(u_2+…+u_{n_1})+(u_{n_1+1}+…u_{n_2})+…$仍收敛，且其和不变.
性质5（级数收敛的必要条件）如果级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛，那么它的一般项$u_n$趋于零，即$\lim_{n\rightarrow 0}u_n=0$

柯西审敛原理

定理（柯西审敛原理）级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛的充分必要条件为：对任意给定的正数$\varepsilon $，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，对于任意的正整数$p$，都有$|u_{n+1}+u_{n+2}+…+u_{n+p}|<\varepsilon$成立。

常数项级数的审敛法

正项级数及其审敛法

各项都是正数或零的级数称为正项级数。

定理1 正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛的充分必要条件是：它的部分和数列$\{s_n\}$有界。
定理2（比较审敛法）设$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$和$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$都是正项数列，且$u_n\leqslant v_n(n=1,2,…)$。若级数$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$收敛，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛；反之，若级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$发散，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$发散。
推论设$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$和$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$都是正项数列，如果级数$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$收敛，且存在正整数$N$，使当$n\geqslant N$时有$u_n\leqslant kv_n(k>0)$成立，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛；如果级数$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$发散，且当$n\geqslant N$时有$u_n\geqslant kv_n(k>0)$成立，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$发散。
定理3（比较审敛法的极限形式）设$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$和$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$都是正项级数
（1）如果$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_n}{v_n}=l(0\leqslant l<+\infty)$，且级数$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$收敛，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛；
（2）如果$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_n}{v_n}=l>0$或$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_n}{v_n}=+\infty$，且级数$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$发散，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$发散；
定理4（比值审敛法，达朗贝尔（d’Alembert）判别法）设$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$为正项级数，如果$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{n_n}=\rho$，那么当$\rho < 1$时级数收敛，$\rho > 1$（或$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{n_n}=+\infty$）时级数发散，$\rho =1$时级数可能收敛也可能发散。
定理5（根值审敛法，柯西判别法）设$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$为正项级数，如果$\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{u_n}=p$，那么当$\rho <1$时级数收敛，$\rho>1$（或$\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{u_n}=+\infty$）时级数发散，$\rho =1$时级数可能收敛也可能发散。
定理6（极限审敛法）设$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$为正项级数
（1）如果$\lim_{n\rightarrow \infty}nu_n=l>0$（或$\lim_{n\rightarrow \infty}nu_n=+\infty$），那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$发散；
（2）如果$p>1$，而$\lim_{n\rightarrow \infty}n^pu_n=l(0\leqslant l<+\infty)$，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收敛；

交错级数及其审敛法

各项正负交错的级数称为交错级数
如$u_1-u_2+u_3-u_4+…$或$-u_1+u_2-u_3+u_4-…$

定理7（莱布尼茨定理）如果交错级数$\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n$，满足条件：
（1）$u_n\geqslant u_{n+1}(n=1,2,3,….)$
（2）$\lim_{n\rightarrow \infty}u_n=0$
那么级数收敛，且其和$s\leqslant u_1$，其余项$r_n$的绝对值$|r_n|\leqslant u_{n+1}$

绝对收敛与条件收敛

如果级数$\sum_{i=1}^{\infty}u_n$各项的绝对值所构成的正项级数$\sum_{i=1}^{\infty}|u_n|$收敛，那么称级数$\sum_{i=1}^{\infty}u_n$绝对收敛；如果级数$\sum_{i=1}^{\infty}u_n$收敛，而级数$\sum_{i=1}^{\infty}|u_n|$发散，那么称级数$\sum_{i=1}^{\infty}u_n$条件收敛

定理8 如果级数$\sum_{i=1}^{\infty}u_n$绝对收敛，那么级数$\sum_{i=1}^{\infty}u_n$必定收敛。

幂级数

函数项级数的概念

如果给定一个定义在区间$I$上的函数列，

$u_1(x),u_2(x),u_3(x),...,u_n(x),...$

那么由着函数列构成的表达式

$u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+...+u_n(x)+...$

称为定义在区间$I$上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。
对于每一个确定值$x_0\in I$，函数项级数成为常数项级数

$u_1(x_0)+u_2(x_0)+u_3(x_0)+...+u_n(x_0)+...$

如果这个级数收敛，就称点$x_0$是函数项级数的收敛点；如果这个级数发散，就称点$x_0$是函数项级数的发散点。函数项级数收敛点的全体称为它的收敛域，发散点的全体称为它的发散域。

幂级数及其收敛性

各项都是常数乘幂函数的函数项级数，即所谓幂级数，它的形式是

$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx_n=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n+...$

其中$a_0,a_1,…,a_n,…$叫做幂级数的系数。

定理1（阿贝尔（Abel）定理）如果级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$当$x=x_0(x_0\neq 0)$时收敛，那么适合不等式$|x|<|x_0|$的一切$x$使这幂级数绝对收敛。反之，如果级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$当$x=x_0$时法赛，那么适合不等式$|x|>|x_0|$的一切$x$使这幂级数发散。
推论如果幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$不是仅在$x=0$一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，那么必有一个确定的正数$R$存在，使得
当$|x| < R$时，幂级数绝对收敛；
当$|x| > R$时，幂级数发散；
当$x=\pm R$时，幂级数可能收敛也可能发散
正数$R$通常叫做幂级数的收敛半径，开区间$(-R,R)$叫做幂级数的收敛区间。
定理2 如果 $\lim_{n\rightarrow \infty}\left | \frac{a_{n+1}}{a_n}\right |=\rho$ 其中$a_n,a_{n+1}$是幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的相邻两项的系数，那么这幂级数的收敛半径 $R=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\rho},&&\rho \neq 0\\ +\infty,&&\rho =0\\ 0,&&\rho=+\infty\end{matrix}\right.$

幂级数的运算

幂级数的四则运算
加法减法乘法收敛半径都是两运算级数中较小的，除法转化成乘法来求解，收敛区间可能比原来两级数的收敛区间小得多。

性质1 幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的和函数$s(x)$在其收敛域$I$上连续。
性质2 幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的和函数在其收敛域$I$上可积，并有逐项积分公式 $\int_{0}^{x}s(t)\text{d}t=\int_{0}^{x}[\sum_{n=0}^{\infty}a_nt^n]\text{d}t=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{x}a_nt^n\text{d}t=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}(x\in I)$ 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
性质3 幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的和函数在其收敛区间$(-R,R)$内可导，且有逐项求导公式 $s'(x)=\left (\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right )'=\sum_{n=0}^{\infty}(a_nx^n)'=\sum_{n=0}^{\infty}na_nx^{n-1}(|x|<R)$ 逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径
反复应用上述结论可得：幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的和函数$s(x)$在其收敛区间$(-R,R)$内具有任意阶导数。

函数展开成幂级数

是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数$f(x)$，如果能找到这样的幂级数，我们就说，函数$f(x)$在该区间内能展开成幂级数。

假设函数$f(x)$在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$能展开成幂级数，即有

$f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+...+a_n(x-x_0)^n...,x\in U(x_0)$ $f^{(n)}(x)=n!a_n+(n+1)!a_{n+1}(x-x_0)+\frac{(n+2)!}{2!}a_{n+2}(x-x_0)^2+...$

由此可得

$f^{(n)}(x_0)=n!a_n$

于是

$a_n=\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)$

该幂级数必为

$f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+...+\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n+...=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n$

展开式必为

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n,x\in U(x_0)$

幂级数叫做函数$f(x)$在点$x_0$处的泰勒级数，展开式叫做在$x_0$处的泰勒展开式。

定理设函数在点$x_0$的某一邻域$U(x_0)$内具有各阶导数，则$f(x)$在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是在该邻域内$f(x)$的泰勒公式中的余项$R_n(x)$当$n\rightarrow \infty$时的极限为零，即

$\lim_{n\rightarrow \infty}R_n(x)=0,x\in U(x_0)$

当$x_0=0$时可以得到麦克劳林级数和麦克劳林展开式。

函数的幂级数展开式的应用

微分方程的幂级数解法

定理如果方程$y’’+P(x)y’+Q(x)y=0$中的系数$P(x)$与$Q(x)$可在$-R< x < R$内展开为$x$的幂级数，那么在$-R < x< R$内方程必有形如$y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的解。

欧拉公式

$e^{xi}=\cos x+i\sin x$ $\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{e^{xi}+e^{-xi}}{2}\\ \sin x=\frac{e^{xi}-e^{-xi}}{2}\end{matrix}\right.$

傅里叶级数

一般周期的傅里叶级数

总犯错的地方总结

=-=..我tcl…有些地方老错..
一个就是上限是函数下限是0的时候，别偷懒都算一下啊…
积分换元的时候记得上下限也换了…

第二章 导数与微分

第七章 微分方程

第一节 微分方程基本概念

第二节 可分离变量的微分方程

第三节 齐次方程

第四节 一阶线性微分方程

第五节 可降阶的高阶微分方程

第六节 高阶线性微分方程

第七节 常系数齐次线性微分方程

第八节 常系数非齐次线性微分方程

第八章 向量代数与空间解析几何

向量及其运算

方向角

向量在轴上的投影

数量积

向量积

混合积

平面表示方法

点法式

一般方程

截距式方程

几个小技巧

夹角

两平面夹角

点到平面距离

直线表示方法

一般方程

对称式方程 || 点向式方程

参数方程

两直线的夹角

直线与平面的夹角

平面束方程

直线与平面的交点

点到直线的距离

点到平面的投影

直线到平面的投影

曲面及其方程

球面

旋转曲面

圆锥面

旋转双曲面

柱面

二次曲面

空间曲线及其方程

空间曲线的一般方程

空间曲线的参数方程

螺旋线

曲面参数方程

空间曲线在坐标面上的投影

第九章 多元函数微分法及其应用

多元函数基本概念

平面点集

利用邻域描述点和点集之间的关系

重要的平面点集

多元函数概念

多元函数的基线

多元函数的连续性

偏导数

偏导数定义及其计算法

高阶偏导数

全微分

全微分定义

多元函数求导法则

隐函数求导公式

一个方程的情况

方程组的情况

多元函数微分学的几何应用

一元向量值函数及其导数

空间曲线的切线与法平面

曲线的切平面与法线

方向导数与梯度

方向导数

梯度

数量场 向量场 引力场

多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及最大值和最小值

条件极值

拉格朗日乘数法

第十章 重积分

二重积分的概念与性质

第二章导数与微分

第七章微分方程

第一节微分方程基本概念

第二节可分离变量的微分方程

第三节齐次方程

第四节一阶线性微分方程

第五节可降阶的高阶微分方程

第六节高阶线性微分方程

第七节常系数齐次线性微分方程

第八节常系数非齐次线性微分方程

第八章向量代数与空间解析几何

第九章多元函数微分法及其应用

数量场向量场引力场

第十章重积分

第十一章曲线积分与曲面积分

第十二章无穷级数